q-Floor Diagrams computing Refined Severi Degrees for Plane Curves

The Severi degree is the degree of the Severi variety parametrizing plane curves of degree d with δ nodes. Recently, Göttsche and Shende gave two refinements of Severi degrees, polynomials in a variable q, which are conjecturally equal, for large d. At q = 1, one of the refinements, the relative Severi degree, specializes to the (non-relative) Severi degree. We give a combinatorial description of the refined Severi degrees, in terms of a q-analog count of Brugallé and Mikhalkin’s floor diagrams. Our description implies that, for fixed δ, the refined Severi degrees are polynomials in d and q, for large d. As a consequence, we show that, for δ ≤ 4 and all d, both refinements of Göttsche and Shende agree and equal our q-count of floor diagrams. Résumé. Le degré de Severi est le degré de la variété de Severi paramétrisant les courbes planes de degré d à δ noeuds. Récemment, Göttsche et Shende ont donné deux raffinements des degrés de Severi, polynomiaux en la variable q, qui sont conjecturalement égaux pour d assez grand. Pour q = 1, un des ces raffinements, le degré de Severi relatif, se spécialise en le degré de Severi (non relatif). Nous donnons une description combinatoire des degrés de Severi raffinés, en fonction d’un comptage q-analogue des “floor diagrams” de Brugallé et Mikhalkin. Notre decription implique que, pour δ fixé, les degrés de Severi raffinés sont polynomiaux en d et q, pour d grand. On montre que, par conséquent, pour δ ≤ 4 et pour tout d, les deux raffinements de Göttsche et Shende coı̈ncident et sont égaux à notre q-analogue de “floor diagrams”.